jueves, 23 de julio de 2009

Actividad 2: Cálculo Algebraico

Actividad 2: Cálculo Algebraico

El álgebra es la parte de la matemática que se encarga de los procesos que conducen a la resolución de ecuaciones. Aunque se conocen soluciones a problemas algebraicos desde la antigüedad, su desarrollo formal data del renacimiento.

Mientras que en aritmética solo participan los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra se utilizan letras (x, y, a y b) para denotar números llamados variables. Esto es fundamental en álgebra porque:

Permite la generalización de expresiones aritméticas mediante el uso de ecuaciones, para ser indicadas como leyes (por ejemplo a + b = b + a) para todo a y b).

Permite la referencia a números que no se conocen: En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.

Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted vende x boletos, entonces, su beneficio (b) será 3x - 10 dólares” la relación entre las cantidades será b = 3x – 10. Se conocerá el beneficio reemplazando x por el número de boletos vendidos)

En resumen: En álgebra, una expresión puede contener números, letras y operaciones aritméticas.

Una ecuación es una igualdad matemática con una o más incógnitas. Algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo a + b = b + a); tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades solamente para algunos valores (por ejemplo, la ecuación: x2 – 1 = 8 es verdadera solo si x = 3 o x = -3). Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera, son las soluciones de la ecuación.

Propiedades de las operaciones algebraicas

Suma y resta: en álgebra solamente se sumarán los términos semejantes. Es decir, aquellos que tengan el mismo literal y el mismo exponente. Ejemplo: 3x2 + 2y - 6x + x2 + 5y3 – 3y. Agrupando los términos semejantes 3x2 + x2 + 2y – 3y - 6x + 5y3 tenemos 4x2 – y - 6x + 5y3

Multiplicación: la multiplicación se puede expresar de tres formas: (a × b), (a · b) o simplemente (ab). Esta última notación es la más empleada. Si se multiplica un monomio por un polinomio, se aplica la ley distributiva. Ejemplo: 2x(2 + 3x) = 4x + 6x2 la expresión fuera de paréntesis se multiplica por cada sumando dentro del paréntesis, teniendo en cuenta las operaciones de los signos.

División: el cociente se representa como fracción. Es decir que x ÷ y, se representa como x/y.

Potencias: se operan las potencias siempre que tengan la misma base, de la siguiente manera:

Ab × Ac = Ab+cAb/Ac = Ab-c
(AB)c = Ac × Bc(Ab)c = Ab×cA-b = 1/Ab
Ejemplo de aplicación del cálculo algebraico a la solución de un problema de física

La expresión del cálculo algebraico y = xt, indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno. Pero si interpretamos y como espacio, x como velocidad y t como tiempo, tal ecuación sirve de modelo de una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento. Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un vehículo de Bogotá a Cúcuta a una velocidad constante de 60 km/h durante 11 horas de recorrido.

kilómetros recorridos = 60 km/h x 11 h = 660 Km

Actividad:
  1. Responda en su cuaderno las siguientes preguntas:
    1. ¿Que es álgebra?
    2. ¿En que se parecen y en que se diferencian la aritmética y el álgebra?
    3. ¿Por qué son fundamentales las variables en el álgebra? De un ejemplo en cada caso.
    4. ¿Qué es una ecuación?
    5. Defina las dos clases de ecuaciones y de un ejemplo
  2. Agrupe y subraye los términos semejantes (como en el ejemplo) y realice las operaciones:
    1. 3x3 + 6x – 2y – 9y2 + 5x3 – 6y2
    2. – 7z + 4z3 + 6x2 + 8z – 2z3 + 2x2
    3. 8m2 + 3n3 – 5m + 6n2 + m3
    4. 2 + 2x2 + 5 – 4x2 + 7x
  3. Realice las siguientes multiplicaciones:
    1. 5x(2x + 9)
    2. 8(2m – n)
    3. 2y(-3x - 2y)
    4. -3z(2x + 4)
  4. Escriba adecuadamente las siguientes divisiones y realice las operaciones
    1. 8x ÷ 4x
    2. 6z2 ÷ 2z
    3. 48x3y2 ÷ 12x2y
    4. 18m ÷ 6
  5. Complete las siguientes frases:
    1. Para operar potencias, es necesario que tengan la misma ____
    2. Para multiplicar potencias, se deja la base y se _____ los __________
    3. Para ______ potencias, se deja la base y se restan los __________
    4. Para elevar una ________ a otra potencia, se deja la ____ y se ___________ los __________
  6. En sus propias palabras explique el procedimiento para desarrollar una potencia con exponente negativo
  7. Represente como potencias:
  8. Realice las siguientes operaciones:
    1. x4 · x3
    2. z5 / z2
    3. m-3
    4. (y3)2
    5. (xy)2
  9. De acuerdo con el ejemplo del cuadro, desarrolle los siguientes ejercicios:
    1. ¿Cuantos metros recorre un caracol, si se desplaza con una velocidad de 0.5m/seg durante 20 segundos?
    2. ¿Cuántos kilómetros recorre un pedalista a una velocidad de 50Km/h durante 3.5 horas?
  10. si usted vende x boletos para un espectáculo, entonces, su beneficio (b) será 3x - 10 dólares. la relación entre las cantidades será b = 3x - 10. De acuerdo con esto, encuentre el beneficio de vender:
    1. 1 boleto
    2. 5 boletos
    3. 1500 boletos
    4. 32000 boletos
    5. Cero boletos

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